Avant d’aborder le sujet des asymptotes horizontales et verticales, essayons de comprendre ce que sont exactement les asymptotes et le rôle qu’elles jouent en mathématiques. En géométrie projective, une asymptote est une droite qui s’approche arbitrairement d’une courbe donnée mais qui ne se rencontre pas à une distance finie. Géométriquement, une droite est une asymptote d’une courbe y = f(x), si la distance entre la droite et un point « P » de la courbe s’approche de zéro lorsque x et y tendent tous deux vers l’infini. Un graphique peut avoir une asymptote parallèle à chaque axe. En fait, une asymptote est quelque chose qui n’existe pas physiquement – c’est plutôt de l’imaginaire.
Une asymptote aide à déterminer les actions ou les formes des choses, mais elle ne fait pas vraiment partie du graphique. Il s’agit simplement d’une ligne imaginaire qui permet de représenter graphiquement une fonction rationnelle. Lorsque la courbe s’approche d’une asymptote, elle s’en rapproche de plus en plus, mais ne la touche jamais. L’asymptote permet donc de déterminer où le graphique de la fonction peut ou ne peut pas aller. Cela dit, il existe trois types d’asymptotes : les asymptotes verticales, les asymptotes horizontales et les asymptotes obliques. Mais nous ne parlerons que des asymptotes verticales et des asymptotes horizontales, et nous verrons comment déterminer lesquelles.
Qu’est-ce qu’une asymptote horizontale ?
Une asymptote horizontale est une valeur constante sur un graphique dont une fonction s’approche mais qu’elle n’atteint pas. Elle indique ce qu’il advient réellement de la courbe lorsque les valeurs x deviennent très grandes ou très petites. Dans les exemples graphiques ci-dessus, la courbe s’approche d’une valeur constante b, mais ne l’atteint jamais, y = 0.
La droite y = b est une asymptote horizontale du graphique de « f » si f(x) –>b lorsque x –>∞ ou x –>- ∞.
Pour trouver l’asymptote horizontale d’une fonction rationnelle, il faut tenir compte du degré des polynômes au numérateur et au dénominateur.
Qu’est-ce que l’asymptote verticale ?
Comme le dénominateur d’une fraction ne peut jamais être nul, le fait d’avoir la variable en bas d’une fraction peut poser un problème. Une certaine valeur de « x » dans le domaine fait que le dénominateur est nul et que la fonction passe au-dessus de cette valeur dans le graphique, créant ainsi une asymptote verticale. Il s’agit de lignes verticales tracées légèrement ou avec des tirets pour montrer qu’elles ne font pas partie du graphique.
Si le nombre réel « a » est un zéro du dénominateur q(x), alors le graphique de f(x) = p(x)/q(x), où p(x) et q(x) n’ont pas de facteurs communs, présente l’asymptote verticale x = a.
Différence entre l’asymptote horizontale et l’asymptote verticale
Définition
– Une asymptote horizontale est une valeur constante sur un graphique dont une fonction s’approche mais qu’elle n’atteint pas. Elle indique ce qu’il advient réellement de la courbe lorsque les valeurs x deviennent très grandes ou très petites. Les asymptotes verticales, quant à elles, sont des lignes verticales invisibles qui correspondent au zéro du dénominateur d’une fraction rationnelle. Il s’agit de lignes verticales tracées légèrement ou avec des tirets pour montrer qu’elles ne font pas partie du graphique.
Calculs
– Pour déterminer l’asymptote horizontale d’une fonction rationnelle, il faut tenir compte du degré des polynômes du numérateur et du dénominateur. Si le dénominateur a la puissance variable la plus élevée dans l’équation de la fonction, l’asymptote horizontale est automatiquement l’axe des x ou y = 0. Si le numérateur et le dénominateur ont tous deux un degré égal, faites une fraction de leurs coefficients pour déterminer l’équation de l’asymptote horizontale. Pour déterminer les asymptotes verticales d’une fonction rationnelle, le dénominateur de la fraction doit être égal à zéro.
Exemple
– Déterminons les asymptotes de la fonction
Y =3×2+9x-21 ∕ x2-25
Pour trouver les asymptotes verticales, fixez le dénominateur de la fraction à zéro.
x2-25 = 0
(x-5) (x+5) = 0
x = 5 et x = – 5
Ces deux nombres sont les deux valeurs qui ne peuvent pas être incluses dans le domaine, les équations sont donc des asymptotes verticales. Les deux asymptotes verticales sont donc x = 5 et x = – 5.
Maintenant, pour déterminer l’asymptote horizontale, regardez l’équation originale. Ici, la puissance variable la plus élevée est 2. Comme le numérateur et le dénominateur ont le même degré de puissance, faites une fraction de leurs coefficients :
y = 3×2/x2
y = 3/1
y = 3
L’équation de l’asymptote horizontale est donc y = 3.
Résumé de l’asymptote horizontale par rapport à l’asymptote verticale
Une asymptote aide à déterminer les actions ou les formes des choses, mais elle ne fait pas vraiment partie du graphique. Les asymptotes verticales marquent les endroits où la fonction n’a pas de domaine. Vous résolvez l’équation des asymptotes verticales en fixant le dénominateur de la fraction à zéro. Les asymptotes horizontales, quant à elles, indiquent ce qu’il advient de la courbe lorsque les valeurs x deviennent très grandes ou très petites. Pour trouver une asymptote horizontale, vous devez prendre en compte le degré des polynômes du numérateur et du dénominateur.